电磁学¶

Chap25 电荷和库仑定律¶

• proton(质子)，electron(电子)，neutron(中子)
• quark(夸克)： \(-\dfrac{1}{3}\) 或 \(+\dfrac{2}{3}\)

• Insulators (绝缘体)
• Conductors (导体)
• Semiconductors (半导体)
• Superconductors (超导体)

电荷密度¶

有三种这样的密度：

1. Linear Charge density(线电荷密度) \(\lambda = \dfrac{q}{L}\)
2. Surface Charge Density(面电荷密度) \(\sigma = \dfrac{q}{A}\)
3. Volume Charge Density(体电荷密度) \(\rho = \dfrac{q}{V}\)

A Ring of Charge¶

推导： $$ \lambda = \dfrac{q}{2\pi R}$$ $$ dF = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0dq}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0\lambda Rd\Phi}{(z^2+R^2)} $$ $$ \begin{aligned} F_z &= \int dF_z = \int dF\cos\theta \\ &= \int \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0\lambda Rd\Phi}{z^2+R^2} \dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0\lambda Rz}{(z^2+R^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} d\Phi \\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0qz}{(z^2+R^2)^{3/2}} \\ \end{aligned} $$

从而推得 $$ \overrightarrow{F} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0qz}{(z^2+R^2)^{3/2}} \hat{k}$$

当\(z >> R\)时，有 $$ \overrightarrow{F} \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0q}{z^2} \hat{k}$$

A Disk of Charge¶

推导： $$ \sigma = \dfrac{q}{\pi R^2} $$ $$ dq = \sigma dA = \sigma(2\pi \omega d\omega) = 2\pi\sigma\omega d\omega $$ $$ dF_z = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{q_0(2\pi\sigma\omega d\omega)z}{(z^2+\omega^2)^{3/2}} $$

电荷守恒¶

实验表明，在一个封闭系统中，任何物理过程都不会改变电荷总量

Chap26 电场¶

Coulomb's Law: $$ \overrightarrow{F} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q_0}{r^2} \hat{r} $$ $$ \overrightarrow{E} = \lim_{q_0 \rightarrow 0} \dfrac{\overrightarrow{F}}{q_0} $$

graph LR
A[Charge] <===>C[Field]<===> B[Charge]

Dipole（电偶极矩）¶

定义：两个相反等量电荷之间的距离乘以电荷量，\(\overrightarrow{p} = q\overrightarrow{d}\)

flowchart LR
A(( -q )) --> B(( +q ))

For \(r >> a\), $$ E_y(0,r) \approx 4\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Qa}{r^3} $$ 此时我们可以得到 $$ E \propto \dfrac{1}{r^3} $$

Infinite Line of Charge¶

Therefore, $$ dE = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\lambda \cos^2 \theta dx}{r^2} $$

又因为 $$ x = r\tan \theta $$ $$ dx = r\sec^2 \theta d\theta $$ 于是最终得到 $$ dE = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\lambda d\theta}{r} $$

Components: $$ dE_x = dE \sin\theta = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\lambda d\theta}{r} \sin\theta $$ $$ dE_y = dE \cos\theta = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\lambda d\theta}{r} \cos\theta $$ $$ E_x = \int dE_x = -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\lambda}{r} \int_{-\pi /2}^{{+\pi /2}} \sin\theta d\theta = 0 $$ $$ E_y = \int dE_y = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\lambda}{r} \int_{-\pi /2}^{{+\pi /2}} \cos\theta d\theta = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} $$

总结¶

• Dipole: \(E \propto \dfrac{1}{r^3}\)
• Point Charge: \(E \propto \dfrac{1}{r^2}\)
• Infinite Line of Charge: $E \propto \dfrac{1}{r} $

A Uniform Ring of Charge¶

$$ dE = \dfrac{\lambda ds}{4\pi\epsilon_0} = \dfrac{\lambda ds}{4\pi\epsilon_0(z^2+R^2)} $$

if \(z >> R\), then \(E_z \approx \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0z^2}\)

if \(z \rightarrow 0\), then \(E_z \approx 0\)

A Uniform Disk of Charge¶

$$ dq = 2\pi\omega·d\omega·\sigma $$

• if \(R >> z\)， \(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{R^2}{z^2}}} \rightarrow 0\), so \(E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon}\) (Infinite sheet)

• if \(z >> R\)， \(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{R^2}{z^2}}} = 1 - \dfrac{1}{2} \dfrac{R^2}{z^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{R^4}{z^4} - \cdots\)

• so $E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon} \left( 1- \dfrac{1}{2} \dfrac{R^2}{z^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{R^4}{z^4} - \cdots \right) \propto \dfrac{\sigma}{2\epsilon} \dfrac{1}{2} \dfrac{R^2}{z^2} = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 z^2} $

A Dipole in an Electric field¶

电偶极矩矢量：$ \overrightarrow{p} = q \overrightarrow{d} $ $$ \overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{E} $$

Chap27 Gauss's Law(高斯定理)¶

通量¶

Flux，流量，通量: \(\Phi = \vec{E} \cdot \overrightarrow{A} = EA\cos\theta\)

If there were within the volume no sources or sink of fluid.

如果在体积内没有流体的源头或汇集点，那么 $$ \Phi = \oiint \overrightarrow{v} \cdot d\overrightarrow{A} = 0 $$

If there were a source (源) within the volume: $$ \Phi = \oiint \overrightarrow{v} \cdot d\overrightarrow{A} > 0 $$

If there were a sink of fluid: $$ \Phi = \oiint \overrightarrow{v} \cdot d\overrightarrow{A} < 0 $$

电通量¶

Define: electric flux \(\Phi_E\) through the closed surface \(A\) $$ \Phi = \sum \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} $$

• 规定电通量“向外”为正，“向内”为负
• 对于一个开放曲面（不闭合），它的方向不确定，因此电通量的符号也不确定

Gauss' Law（高斯公式）¶

通过一个闭合曲面的总电通量与被这个曲面所包围的电荷量成正比

在利用高斯公式求解\(E\)时，我们需要选择一个恰当的闭合曲面，使得积分的处理较为简单

• 方向：我们可以使得闭合曲面与电场的方向垂直或平行

  • 如果 \(\overrightarrow{E} \parallel d\overrightarrow{A}\)，那么 \(\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = EdA\)
  • 如果 \(\overrightarrow{E} \perp d\overrightarrow{A}\)，那么 \(\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 0\)

• 大小：当电场方向与平面垂直时，应当使得平面的任意点处电场大小\(E\)相等

这样一来就可以得到 $$ \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = \oiint EdA = E \oiint dA = \dfrac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} $$

这样一来就可以通过\(q_{enclosed}\)来求解\(E\)，或反之通过\(E\)来求解\(q_{enclosed}\)

我们也可以通过高斯公式来推导出库仑定律： $$ \begin{aligned} \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} &= \dfrac{Q}{\epsilon_0} \\ E \oiint dA &= \dfrac{Q}{\epsilon_0} \\ E \cdot 4\pi r^2 &= \dfrac{Q}{\epsilon_0} \\ E &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{r^2} \end{aligned}$$

高斯定理的应用¶

均匀带电球体¶

求由一个半径为\(a\)，电荷密度为 \(\rho (C/m^3)\) 的均匀带电球体所产生的电场强度

• 在球体外\((r > a)\)，由高斯定理可知 $$ \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 4\pi r^2 E = \dfrac{q}{\epsilon_0} $$ $$ q = \dfrac{4}{3}\pi a^3 \rho $$

  可以得到 $$ E = \dfrac{\rho a^3}{3\epsilon_0 r^2} $$

  事实上利用 $E = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \dfrac{q}{r^2} $ 也可以得到相同的结果

• 在球体内\((r < a)\)，同样也由高斯定理，但此处包裹的电荷大小不再是由\(a\)决定 $$ \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 4\pi r^2 E = \dfrac{q}{\epsilon_0} $$ $$ q = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \rho $$

  可以得到 $$ E = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0} r $$

根据以上分析，最终得到

导体中的高斯定理¶

我们知道导体内部的电场大小为零，根据高斯定理可以推出其内部的电荷大小为零，说明导体的电荷只在它的表面上。

要求一个带电导体产生的电场，我们可以在其外表面处取一个极小的高斯面，这样可以认为被高斯面包裹的导体表面上的电荷是均匀分布的（取足够小的高斯面后可以就认为高斯面内的导体表面是平的，从而忽略尖端带电效应）。

并且因为导体内部电场强度为0，由对称性也可以知道沿高斯面的侧面方向的电场强度也为0。 $$ \epsilon_0 \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = \sigma \cdot \Delta A $$ $$ \epsilon_0 \overrightarrow{E} \overrightarrow{A} + 0 + 0 = \sigma \cdot \Delta A $$

无限线电荷¶

由对称性可知只有在垂直于线电荷的方向上有电场强度，因此我们可以取一个半径为\(r\)，长度为\(h\)的圆柱形高斯面，这样可以得到

应用高斯定理

• 在两端：\(\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 0\)
• 在侧面： $$ \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 2\pi rhE $$ $$ q = \lambda h $$ 得到 $$ E = \dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} $$

于是我们就得到了和先前使用库仑定律推导相同的结论。

无限面电荷¶

显然的，我们在对无限面电荷构造高斯平面时，应当选择构造与这个平面平行且容易计算面积的形状，常用的有与此平面垂直的圆柱体或一个立方体

由对称性可以知道只有与平面垂直的方向有电场，因此可很平凡地构造一个高斯面。

• 在侧面：$ \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 0 $
• 在两端：$ \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 2AE$$
• 所包裹住的电荷量大小：\(\sigma A\)

因此由高斯定理 $$ E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}

结论：一个无限面电荷产生的电场强度是一个常量。

Chap28 Electric Potential Energy and Potential(电势能和电势)¶

电势能与电势¶

电势能¶

由于电场力是保守力，即电场力的做功大小与路径无关，仅取决于初、末位置，类比于重力以及重力势能，我们也可以定义电势能。

考虑一个带电粒子 \(q\) 在电场 \(\overrightarrow{E}\) 中运动，假设它从位置 \(a\) 移动到位置 \(b\)，那么它的电势能变化为 $$ \Delta U = U_b - U_a = -\int_a^b \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{l} = -q \int_a^b \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} $$ 这里的 \(\int_a^b \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{l}\) 仅取决于初、末位置 \(a\) 和 \(b\)，而与路径无关。

当电场力做正功时，电势能减小，反之电势能增加。

电势能是一个标量，当带电粒子处于由多个电场叠加得到的电场中时，它的电势能等于它在每个电场的电势能的标量和。

带电粒子在电场中某一点的电势能 \(U(x,y,z)\) 等于将这个粒子从电势能为零的点移到点 \((x,y,z)\) 所做的功。通常我们将电势能为零的点设为无穷远处。

电势¶

电势是电场中某一个点的物理量，它是一个标量，定义为单位正电荷在该点的电势能。即电势 \(V\) 可以表示为 $$ V = \dfrac{U}{q} $$ 其中 \(U\) 是电势能，\(q\) 是单位正电荷的电荷量。

与电势能相同，电势也是一个标量。我们通常也将无穷远处的电势设为零。

根据 $$ W_{AB} = \int_A^B \overrightarrow{F}_{extern} \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_A^B \overrightarrow{F}_e \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_A^B q_0 \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} $$

我们在求电势差时可以使用以下公式: $$ V_B - V_A \equiv \dfrac{W_{AB}}{q_0} = -\int_A^B \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} $$

根据上述公式，我们可以在点电荷产生的电场求出电势差

\(\begin{aligned} V_b - V_a &= -\int_A^B \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = -\int_{r_a}^{r_b} \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} dr\\\\ &= \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0}\left( \dfrac{1}{r_b} - \dfrac{1}{r_a} \right) \end{aligned}\)

此时我们令 \(r_a = \infty\)，\(V_a = 0\)，可以得到点电荷在空间中产生的电势 $$ V = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 r} $$

常见模型的电势能和电势¶

带电球壳的电势能和电势¶

由高斯定理可以直接得到

• \(E = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\)，\((r \geqslant R)\)
• \(E = 0\)，\((r < R)\)

可以求得电势

电势能

圆环与圆盘的电势¶

等势面¶

• 在等势面上移动时电场力不做功
• 带电导体的表面是一个等势面（假如不是等势面，那么电子就会自由移动，最终达到平衡状态时就得到了一个等势面）

如果用一个导体球壳把一个点电荷包裹起来，点电荷不在球心的位置，那么

• 导体内表面产生的感应电荷分布不均匀，距离电荷越近的地方感应电荷越密集
• 导体外表面的电荷在球壳上均匀分布
• 导体内外表面的电荷大小都与点电荷的大小相同，但是符号一相同一不同

尖端放电¶

由于导体表面是一个等势面，而曲率越大的地方电荷面密度就越大，当电势足够大时就会电离空气，也就是产生尖端放电现象

通过电势求电场¶

如果我们知道了空间任意一处的电场，就可以通过积分来求出任意一点的电势；类似地，假如我们知道了空间任意一处的电势，我们就可以通过微分来求出相应位置的电场。

也就是说，根据 $$ \Delta V = V_b - V_A = -\int_A^B \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} $$

就有 $ dV = -\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} $

从而 $ E = -(\dfrac{dV}{dl})_{max} $

我们用电势梯度描述电场中电势沿某一方向的变化率，而 \(\overrightarrow{E}\) 沿着电势下降最快的方向，即电场沿着电势梯度最大的方向，或者说，电场是电势的负梯度。 $$ \overrightarrow{E} = -\overrightarrow{\nabla} V $$

• 在直角坐标系中，$$ \overrightarrow{\nabla} V = \dfrac{\partial V}{\partial x} \hat{x} + \dfrac{\partial V}{\partial y} \hat{y} + \dfrac{\partial V}{\partial z} \hat{z} $$
• 在球坐标系中，$$ \overrightarrow{\nabla} V = \dfrac{\partial V}{\partial r} \hat{r} + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \hat{\theta} + \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial V}{\partial \phi} \hat{\phi} $$

Chap 30 (Partial 29) Capacitance and Dielectrics (电容与电介质)¶

电容器由分离的两个导体组成，这两个导体带有大小相同、符号相反的电荷 \(+q\) 与 \(-q\)。

• 电容是电容器所具有的一个固有的性质，与带电量与电势差大小无关，仅与电容器的材料、大小、形状等有关

常见模型的电容¶

平行板电容器¶

$$ E = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0} = \dfrac{q}{A \epsilon_0} $$ $$ \Delta V = -\int_A^B \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = \dfrac{q}{A \epsilon_0} d $$ $$ C = \dfrac{q}{\Delta V} = \dfrac{\epsilon_0 A}{d} $$

因此平行板电容器的电容与平行板的面积成正比，与板之间的距离成反比。

圆柱形电容器¶

首先用高斯定理计算出电场 $$ \oiint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = 2 \pi rLE = \dfrac{Q}{\epsilon_0} $$ $$ \Rightarrow E = \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} $$

再根据电势与电场的关系

因此，对于单位长度的圆柱形电容器，其电容为 $$ C' = \dfrac{C}{L} = \dfrac{2 \pi \epsilon_0}{\ln \dfrac{b}{a}} $$

球形电容器¶

$$ \overrightarrow{E} = \dfrac{q \hat{r}}{4\pi \epsilon_0 r^2}, a<r<b $$

电容器的并联与串联¶

并联¶

两个电容并联时，电势差相同，它们等价于一个电容更大的电容器 $$ V = \dfrac{Q_1}{C_1} = \dfrac{Q_2}{C_2} $$ $$ \Rightarrow Q = Q_1 + Q_2 = C_1 V + C_2 V = (C_1 + C_2)V $$

串联¶

两个电容串联时，它们带有的电荷量相同 $$ Q = Q_1 = Q_2 = C_1 V_1 = C_2 V_2 $$ $$ V = V_1 + V_2 = \dfrac{Q}{C_1} + \dfrac{Q}{C_2} = Q\left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} \right) $$

电容器的能量¶

考虑两个不带电的平行板导体，我们不断地将其中一个平行板上的电子移到另个平行板上，最终就得到了一个平行板电容器，这过程中所做的功就等于让电荷克服电场力所做的功，也即电容器所具有的能量。

设平行板电容器的电容为 \(C\)，电势差为 \(V\)，那么它具有的能量为 $$ U = \int_0^Q V dq = \int_0^Q \dfrac{q}{C} dq = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{1}{2} CV^2 $$ 电容器的能量储存在它的电场当中。

• 并且，我们知道平行板电容器产生的电场是均匀的，有 \(V = Ed\)，$C = \dfrac{A \epsilon_0}{d} $，因此 $$ U = \dfrac{1}{2} E^2 \epsilon_0 Ad $$

• 此外，我们还可以得到单位体积内的静电场能量密度（注意到体积 \(V = Ad\)） $$ u = \dfrac{1}{2} E^2 \epsilon_0 $$

电介质，电场中的绝缘体 (Dielectrics)¶

将绝缘体插入电容器的平面之间时，电容器的电容大小会发生变化，这个插入电场中的绝缘体就称为电介质。

介电常数 \(\kappa_e\) 是电介质的一个特性参数，它表示填充电介质后电容器的电容与真空中的电容之比，具体来说 $$ C = \kappa_e C_0 $$

• 介电常数 \(\kappa_e\) 始终大于1
• 电介质的插入使得电容器能够储存更多的能量

我们也可以得到插入电介质后其他物理量的变化

• 当电荷总量 \(Q\) 不变时

• 当电势差 \(V\) 不变时

宏观理解¶

• 若在平行板电容器间插入一个导体，导体的上下表面都会产生感应电荷，相当于将一个电容器变成了两个电容器的串联

$$ C_1 = \epsilon_0 \dfrac{A}{d_1} $$ $$ C_2 = \epsilon_0 \dfrac{A}{d_2} $$ $$ C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \epsilon_0 \dfrac{A}{d_1 + d_2} > \epsilon_0 \dfrac{A}{d} $$ 因为显然 \(d_1 + d_2 < d\)

• 若在平行板电容器间插入一个电介质，电介质与电容器之间几乎没有缝隙。此时电介质的表面会产生束缚电荷，由于电介质内部会产生感应电场，将原电场的一部分抵消从而使电势差减小，在带电量不变的情况下，由 \(C = \dfrac{Q}{V}\) 可知电容增大。此时我们就称这个电介质被极化（Polarization）了。

从以上两种情况可以看出，无论插入导体还是电介质都可以使电容增大，但插入导体后将会使得两个小电容器的 \(d\) 变得很小，这样就容易导致电容器被击穿，因此通常采取插入电介质的方法来提高电容。

极化的微观解释¶

• 对于无极分子电介质，当一个外界电场作用于其上时，它的正负电荷中心会产生位移，不再重合，从而形成感生电偶极矩（Induced electric dipole moment），进而产生一个与外界电场方向相反的电场，这就是电子位移极化（Electric displacement polarization）。

  • 当电介质内部的正负电荷矢量求和之后，最终只有两侧存在电荷，相当于在电介质的表面分别产生了正负电荷。

  

• 对于有极分子电介质，当一个外界电场作用于其上时，其内部原本杂乱无章的电荷（电偶极矩）会受力发生偏转，产生的力矩会使电偶极矩偏向于电场的方向，称其为取向极化（Alignment polarization）。

  • 当发生取向极化时，实际上也会发生电子位移极化，但后者的效果会比前者低两个数量级，因此通常可以忽略；但在高频电场中时，电子位移极化会占据更主要的位置。

  

极化强度矢量 \(\overrightarrow{P}\) (Polarization)¶

对于均匀的电介质，束缚电荷仅分布在电介质的表面。

对于不均匀的电介质，不妨设其为一个球体，考虑一个外部电场 \(\overrightarrow{E}_0\)，直觉告诉我们正电荷将更多地聚集在球体的右侧，负电荷反之。但要求出具体的极化强度矢量就需要一些技巧。

不妨在球体右表面取一个很小的圆柱体

• 圆柱体的轴线方向 \(\overrightarrow{n}\) 与球体的半径方向相同
• \(\overrightarrow{l}\) 表示电偶极矩的长度矢量，与外部电场方向相同，与 \(\overrightarrow{n}\) 有一定夹角，
• 这里的 \(n\) 表示单位体积中分子的数量 $$ dN = ndV = nld A \cos \theta $$

由上式就可以推断出来面电荷的符号与外部电场之间的关系

• \(\theta < \dfrac{\pi}{2}\)，\(\sigma_e' > 0\)，+

• \(\theta > \dfrac{\pi}{2}\)，\(\sigma_e' < 0\)，-

退极化场 (Depolarization Field)¶

上面提到过，束缚电荷会在电介质内部产生一个与外界电场方向相反的电场 \(\overrightarrow{E}'\)，称其为退极化场(Depolarization Field) $$ \overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_0 + \overrightarrow{E}' $$

电介质的极化规律¶

• 对于各向同性（general isotropic）的材料 $$ \overrightarrow{P} = \chi_e \epsilon_0 \overrightarrow{E} $$

  • 其中 \(\chi_e\) 称为极化率（Polarization coefficient）
  • \(\kappa_e = 1 + \chi_e\)

• 对于不各向同性（anisotropic）的材料(\(SiO_2\)晶体水晶等)

电位移矢量 \(\overrightarrow{D}\) 与电介质的高斯定理¶

因此最终得到 $$ \overrightarrow{D} \cdot d\overrightarrow{A} = \sum_{In} q_0 $$ 这就是电介质中的高斯定理

Chap 31 The Steady Current（稳恒电流）¶

电流强度与电流密度¶

电流强度定义为单位之间内通过某个截面的电荷量，即 $$ i = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta q}{\Delta t} = \dfrac{dq}{dt} $$

电流密度矢量 \(\overrightarrow{j}\) 定义为单位时间内通过单位面积的电荷量 \(\(\begin{aligned} di &= \overrightarrow{j} \cdot d\overrightarrow{A} \\\\ i &= \iint_A \overrightarrow{j} \cdot d\overrightarrow{A} \\\\ &= \iint j \cos\theta dA \end{aligned}\)\)

电流连续性方程（current continuity equation）¶

在电流场中，电荷不会消失，因此电流在空间中的分布是连续的，即电流的流入量等于流出量。 $$ \oiint_A \overrightarrow{j} \cdot d\overrightarrow{A} = -\dfrac{dq}{dt} = 0 $$

欧姆定律、电阻、电阻率¶

• 欧姆定律：电流强度与电压成正比，电流强度与电阻成反比

\(\Delta V = iR\)，\(i = \dfrac{\Delta V}{R}\)，\(R = \dfrac{\Delta V}{i}\)

• 电导：电阻的倒数，单位为 \(\Omega^{-1}\)，记为 \(G = \dfrac{1}{R}\)
• 单位：电阻：欧姆(\(\Omega\))，电导：西门子(\(\Omega^{-1} = S\))

$$ R = \rho \dfrac{L}{A} = \int \rho \dfrac{dl}{A} $$ 其中 \(\rho\) 为电阻率（resistivity），\(L\) 为电阻的长度，\(A\) 为电阻的横截面积

电导率：$ \sigma = \dfrac{1}{\rho} $

欧姆定律的微分形式和积分形式¶

微分形式： $$ \Delta i = \dfrac{\Delta V}{R} $$ $$ j\Delta A = \dfrac{E \Delta l}{\rho \dfrac{\Delta l}{\Delta A}} $$
$$ j = \dfrac{E}{\rho} = \sigma E $$

由上式可以得到 $ \overrightarrow{j} = \dfrac{E}{\rho} = \sigma \overrightarrow{E} $

积分形式： $$ i = \iint \overrightarrow{j} \cdot d\overrightarrow{A} $$ $$ \Delta V = \iint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} $$ $$ R = \int \rho \dfrac{dl}{A} $$

Chap 32 (33) The Steady Magnetic Field（稳恒磁场）¶

磁学基本现象¶

• 磁铁吸引铁、镍、钴等磁性物质
• 指北针指向地理北极（磁南极），指南针指向地理南极（磁北极），磁力线从磁北极指向磁南极
• 磁极同性相斥，异性相吸

• 奥斯特实验：电流通过导线时，导线周围会产生磁场；

  电线切割磁感线时，电线会产生感应电动势，这就是电磁感应现象。

• 右手定则

• 同向电流之间相互吸引，反向电流之间相互排斥
• 磁场由运动的电荷产生

安培定律（Ampere's Law）¶

根据库仑定律，我们知道两个点电荷之间的相互作用力是由它们之间的电场产生的 $$ d\overrightarrow{F}{12} = \dfrac{dq_1 \cdot dq_2}{4\pi \epsilon_0 r $$}^2} \hat{r}_{12

那么我们可以类比求出磁场力，即两个电流元 \(ids\)（current element）之间的相互作用力 $$ dF_{12} = k \dfrac{i_1 i_2 ds_1 \sin\theta_1 ds_2 \sin\theta_2}{r_{12}^2} $$ 其中 \(k\) 是一个比例系数

假如我们再将电流元本身的方向以及它们之间的位移矢量也考虑进来，就得到 $$ d\overrightarrow{F}{12} = k \dfrac{i_2 d\overrightarrow{s}_2 \times (i_1 d\overrightarrow{s}_1 \times \hat{r} $$})}{r_{12}^2

• 其中 \(k = \dfrac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{N/A}^2\) 称为磁场常数（magnetic constant）
• \(\mu_0\) 称为真空磁导率或磁导率（permeability constant），\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{N/A}^2\)

磁感应强度 \(\overrightarrow{B}\)¶

在上面我们反复使用了下面的公式 $$ d\overrightarrow{F}{12} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{i_2 d\overrightarrow{s}_2 \times (i_1 d\overrightarrow{s}_2 \times \hat{r} $$})}{r_{12}^2

这是对于电流元的作用力，而对于整个环流电路的作用力，我们可以将其积分得到 $$ d\overrightarrow{F}2 = i_2 d\overrightarrow{s}_2 \times \dfrac{\mu_0}{4\pi} \oint} \dfrac{i_1 d\overrightarrow{s1 \times \hat{r} $$}}{r_{12}^2

因此我们可以对上式叉乘符号的右侧进行定义： $$ \overrightarrow{B}1 = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \oint} \dfrac{i_1 d\overrightarrow{s1 \times \hat{r} $$}}{r_{12}^2

于是我们就得到 $$ d\overrightarrow{F}_2 = i_2 d\overrightarrow{s}_2 \times \overrightarrow{B}_1 $$

$ \overrightarrow{B}_1 $ 是由环路电流 \(i_1\) 在电流元 \(i_2 d\overrightarrow{s}_2\) 处产生的磁感应强度、

• 对于 \(\overrightarrow{B}_1\) 的大小，我们定义为 \(F_2\) 变化最快的方向中 \(F_2\) 与 \(i_2 ds_2\) 的比值 $$ B_1 = \dfrac{(F_2)_{max}}{i_2 ds_2} $$

• \(\overrightarrow{B}_1\) 的方向由 \(i_1 ds_1\) 与 \(\hat{r}_{12}\) 的叉乘方向决定 $$ \overrightarrow{B}1 = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \oint} \dfrac{i_1 d\overrightarrow{s1 \times \hat{r} $$}}{r_{12}^2

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